Tópico 1: Números e Operações

• Tópico 1: Números e Operações

  O que são números racionais e reais?

  Imagine que a gente tem uma régua bem grande, onde todos os números possíveis estão colocados. Esses números podem ser divididos em dois grupos:

  1. Números Racionais

     • São os números que podem ser escritos como uma fração, tipo $\frac{a}{b}$, onde $a$ e $b$ são números inteiros, e $b \neq 0$ (ou seja, o denominador não pode ser zero).
     • Exemplos:
       • Inteiros: $-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3$.
       • Frações: $\frac{1}{2}, \frac{-5}{8}, \frac{3}{1}$.
       • Dízimas periódicas: $0,\overline{3} = 0.333\ldots = \frac{1}{3}$.

  2. Números Irracionais

     • São os números que não podem ser escritos como frações. Eles têm casas decimais que nunca terminam e não se repetem.
     • Exemplos:
       • $\pi$ (que vale mais ou menos 3.14159...)
       • $\sqrt{2}$ (aproximadamente 1.414...).

  3. Números Reais

     • Esse é o grupo que junta todos os números racionais e irracionais. Eles formam todos os pontos na régua gigante que mencionei antes.

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  Como fazer operações com números racionais?

  Adição e Subtração de Frações

  • Se os denominadores forem iguais (mesmo número embaixo):

    • Só somamos ou subtraímos os números de cima (os numeradores).
    • Exemplo:
      $\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{5}{7}$.

  • Se os denominadores forem diferentes:

    • Precisamos deixá-los iguais antes de fazer a conta. Para isso, usamos o MMC (Mínimo Múltiplo Comum).
    • Exemplo:
      $\frac{1}{4} + \frac{1}{6}$.
      • O MMC de 4 e 6 é 12.
      • Transformamos as frações:
        • $\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$
        • $\frac{1}{6} = \frac{2}{12}$
      • Agora somamos:
        $\frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12}$.

  Multiplicação de Frações

  • Multiplicamos os números de cima (numeradores) e os de baixo (denominadores).
  • Exemplo:
    $\frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{2 \times 3}{5 \times 4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$.

  Divisão de Frações

  • Pegamos a primeira fração e multiplicamos pelo inverso da segunda.
  • Exemplo:
    $\frac{3}{7} \div \frac{2}{5}$.
    • O inverso de $\frac{2}{5}$ é $\frac{5}{2}$.
    • Então fazemos:
      $\frac{3}{7} \times \frac{5}{2} = \frac{15}{14}$.

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  Porcentagem

  Porcentagem é só uma forma de dizer "quantos de cada 100". Por exemplo, 25% significa 25 partes de 100.

  Como calcular uma porcentagem de um número?

  1. Converta a porcentagem para um número decimal.

     • Exemplo: 25% = 0,25.

  2. Multiplique pelo número que você quer encontrar a porcentagem.

     • Exemplo: Qual é 25% de 200?
       $200 \times 0,25 = 50$.

  Acréscimos e Descontos Percentuais

  • Acréscimo: Você adiciona a porcentagem ao número original.

    • Exemplo: Aumentar R$100 em 20%.
      $100 \times 0,20 = 20$.
      $100 + 20 = 120$.

  • Desconto: Você subtrai a porcentagem do número original.

    • Exemplo: Desconto de 15% em R$80.
      $80 \times 0,15 = 12$.
      $80 - 12 = 68$.

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  Potenciação e Radiciação

  Potenciação

  É uma maneira rápida de escrever multiplicações repetidas.

  • Exemplo: $4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64$.

  Propriedades importantes:

  1. $a^m \times a^n = a^{m+n}$.
  2. $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
  3. $(a^m)^n = a^{m \times n}$.

  Radiciação

  É o contrário da potenciação. Por exemplo, encontrar a raiz quadrada de um número é como perguntar: "Que número, ao ser multiplicado por ele mesmo, dá o resultado aqui?"

  • Exemplo: $\sqrt{16} = 4$, porque $4 \times 4 = 16$.

  Propriedades importantes:

  1. $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$.
  2. $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.

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  Exemplos Simples

  1. $\frac{2}{5} + \frac{3}{5} = \frac{5}{5} = 1$.
  2. Qual é 10% de 50?
     $50 \times 0,1 = 5$.
  3. Quanto é $3^2$?
     $3^2 = 3 \times 3 = 9$.
  4. Quanto é $\sqrt{49}$?
     $\sqrt{49} = 7$, porque $7 \times 7 = 49$.

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  Lista de Exercícios

  1. Resolva $\frac{3}{4} + \frac{2}{3}$.
  2. Quanto é 15% de 60?
  3. Resolva $5^2$.
  4. Quanto é $\sqrt{81}$?
  5. Resolva $\frac{4}{7} \times \frac{3}{5}$.

  Gabarito:

  1. $\frac{17}{12}$ ou 1,4166...
  5. $\frac{12}{35}$.