Tópico 3: Geometria

 

1. Polígonos e Ângulos

O que é um polígono?

Um polígono é uma figura plana formada por lados retos que se encontram em pontos chamados de vértices. Exemplos de polígonos: triângulos, quadrados, pentágonos.

• Triângulo: 3 lados.
• Quadrilátero: 4 lados.
• Pentágono: 5 lados.
• E assim por diante.

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Propriedades de Triângulos

• A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre 180°.
  • Por exemplo: Em um triângulo com ângulos $50°$, $60°$, o terceiro ângulo será $180° - (50° + 60°) = 70°$.
• Tipos de triângulos:
  • Equilátero: Todos os lados e ângulos iguais.
  • Isósceles: Dois lados e dois ângulos iguais.
  • Escaleno: Todos os lados e ângulos diferentes.

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Propriedades de Quadriláteros

• A soma dos ângulos internos de qualquer quadrilátero é sempre 360°.
  • Exemplos: Quadrado, retângulo, trapézio.

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Soma dos Ângulos Internos de um Polígono

A fórmula para calcular a soma dos ângulos internos de um polígono com $n$ lados é:

$$\text{Soma dos Ângulos Internos} = (n - 2) \times 180°$$

Exemplo 1: Qual é a soma dos ângulos internos de um pentágono (5 lados)?

$$(5 - 2) \times 180° = 3 \times 180° = 540°$$

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Soma dos Ângulos Externos de um Polígono

A soma dos ângulos externos de qualquer polígono, não importa quantos lados tenha, é sempre:

$$360°$$

Exemplo 2: Um hexágono (6 lados) tem ângulos externos que somam 360°. Cada ângulo externo será $\frac{360°}{6} = 60°$.

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2. Circunferência e Círculo

Conceitos Básicos

• Circunferência: A borda ou "linha" do círculo.
• Raio (r): A distância do centro até a borda.
• Diâmetro (d): Duas vezes o raio ($d = 2r$).
• Corda: Um segmento de linha que liga dois pontos da circunferência.
• Arco: Uma parte da circunferência.

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Comprimento da Circunferência

A fórmula para calcular o comprimento $C$ da circunferência é:

$$C = 2 \pi r$$

Exemplo: Um círculo tem raio $r = 7 \, \text{cm}$. Qual é o comprimento da circunferência?

$$C = 2 \pi \times 7 = 14 \pi \, \text{cm} \, (\text{aproximadamente } 43,96 \, \text{cm})$$

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Área do Círculo

A fórmula para calcular a área $A$ de um círculo é:

$$A = \pi r^2$$

Exemplo: Qual é a área de um círculo com $r = 10 \, \text{cm}$?

$$A = \pi \times (10)^2 = 100 \pi \, \text{cm}^2 \, (\text{aproximadamente } 314 \, \text{cm}^2)$$

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Setores Circulares

Um setor circular é como uma "fatia" de pizza do círculo.

• Fórmula da área de um setor:

$$A_\text{setor} = \frac{\theta}{360°} \times \pi r^2$$

Exemplo: Em um círculo com $r = 6$, calcule a área de um setor com $\theta = 90°$.

$$A_\text{setor} = \frac{90°}{360°} \times \pi (6)^2 = \frac{1}{4} \times 36 \pi = 9 \pi$$

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3. Teorema de Pitágoras

O que é?

O Teorema de Pitágoras vale para triângulos retângulos (um ângulo de $90°$) e diz que:

$$a^2 + b^2 = c^2$$

• Onde:
  • $a$ e $b$: Catetos.
  • $c$: Hipotenusa (o lado maior, oposto ao ângulo reto).

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Exemplo: Um triângulo retângulo tem os catetos $a = 3$ e $b = 4$. Qual é o valor da hipotenusa $c$?

$$c^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$$ $$c = \sqrt{25} = 5$$

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4. Transformações Geométricas

Definições

1. Translação: Movimentar uma figura sem girar ou mudar o tamanho.
2. Reflexão: "Virar" a figura como se fosse em um espelho.
3. Rotação: Girar a figura em torno de um ponto.
4. Ampliação/Redução: Aumentar ou diminuir o tamanho da figura, mantendo as proporções.

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5. Simetrias no Plano Cartesiano

• Uma figura tem simetria se você pode dividi-la em partes iguais, que são imagens espelhadas uma da outra.
• Exemplos:
  • Um quadrado tem simetrias verticais, horizontais e diagonais.
  • No plano cartesiano, as simetrias podem ser vistas ao refletir uma figura no eixo $x$ ou $y$.

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Lista de Exercícios

1. Calcule a soma dos ângulos internos de um octógono (8 lados).
2. Um círculo tem diâmetro de $10 \, \text{cm}$. Calcule o comprimento da circunferência.
3. Use o Teorema de Pitágoras para encontrar a hipotenusa de um triângulo com catetos $a = 6$ e $b = 8$.
4. Um setor circular tem $\theta = 120°$ e raio $r = 9$. Qual é a área do setor?
5. Desenhe no plano cartesiano um triângulo e aplique uma reflexão sobre o eixo $x$.

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Gabarito

1. $(8 - 2) \times 180° = 1080°$.
2. $C = \pi d = \pi \times 10 = 10 \pi \, \text{cm} \, (\text{aproximadamente } 31,4 \, \text{cm})$.
3. $c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \Rightarrow c = 10$.
4. $A_\text{setor} = \frac{120}{360} \times \pi (9)^2 = \frac{1}{3} \times 81 \pi = 27 \pi \, (\text{aproximadamente } 84,78 \, \text{cm}^2)$.
5. Desenho simétrico no plano cartesiano.