Tópico 3: Proporcionalidade (Razão e Proporção)

 

1. O que é Razão?

Razão é uma comparação entre dois números. É como dizer quantas vezes um número é maior ou menor que outro.

Como escrever uma razão?

• A razão de 4 para 2 pode ser escrita de três formas:
  • $4:2$ (lê-se “4 para 2”),
  • $\frac{4}{2}$ (na forma de fração),
  • ou simplesmente $2$ (porque $4 \div 2 = 2$).

Exemplo prático:

Imagine que você tem 6 laranjas e seu amigo tem 3 laranjas. A razão entre o número de laranjas que você tem e as do seu amigo é:

$$6:3 \quad \text{ou} \quad \frac{6}{3} = 2$$

Isso significa que você tem o dobro de laranjas.

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2. O que é Proporção?

Proporção é quando duas razões são iguais.

Exemplo prático:

Se em uma receita de suco usamos:

• 2 copos de água para 1 copo de suco, e
• 4 copos de água para 2 copos de suco,

Temos:

$$\frac{2}{1} = \frac{4}{2} = 2$$

Isso é uma proporção, porque as razões são iguais.

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3. Propriedades Importantes de Proporção

1. Multiplicação Cruzada Se $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, então:

   $$a \times d = b \times c$$

   Essa regra ajuda a resolver vários problemas.

   Exemplo:
   Sabemos que $\frac{2}{5} = \frac{4}{x}$. Qual é o valor de $x$?

   • Multiplicamos cruzado: $$2 \times x = 5 \times 4$$ $$2x = 20$$ $$x = \frac{20}{2} = 10$$

2. Simplificação Em uma proporção, podemos simplificar as razões sem alterar a igualdade.
   Exemplo:

   $$\frac{6}{9} = \frac{2}{3} \quad \text{(dividindo em cima e embaixo por 3)}.$$

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4. Como resolver problemas com Razão e Proporção?

Exemplo 1: Receita de Bolo

Uma receita pede 2 xícaras de farinha para 3 ovos. Quantas xícaras de farinha são necessárias para 6 ovos?

1. Escrevemos a proporção: $$\frac{2}{3} = \frac{x}{6}$$
2. Multiplicamos cruzado: $$2 \times 6 = 3 \times x$$
3. Resolvemos: $$12 = 3x$$ $$x = \frac{12}{3} = 4$$

Resposta: São necessárias 4 xícaras de farinha.

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Exemplo 2: Divisão Proporcional

Três amigos decidem dividir R$120 em partes proporcionais às idades deles: 12 anos, 18 anos e 30 anos. Quanto cada um vai receber?

1. Somamos as idades: $$12 + 18 + 30 = 60$$
2. A razão de cada um será:
   • Primeiro amigo: $\frac{12}{60}$,
   • Segundo amigo: $\frac{18}{60}$,
   • Terceiro amigo: $\frac{30}{60}$.
3. Multiplicamos pela quantia total:
   • Primeiro: $\frac{12}{60} \times 120 = 24$,
   • Segundo: $\frac{18}{60} \times 120 = 36$,
   • Terceiro: $\frac{30}{60} \times 120 = 60$.

Resposta:

• Primeiro amigo: R$24,
• Segundo amigo: R$36,
• Terceiro amigo: R$60.

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5. Lista de Exercícios

1. Qual é a razão entre 15 e 5?
2. Complete a proporção: $$\frac{3}{4} = \frac{9}{x}$$
3. Em uma sala, há 12 meninas e 8 meninos. Qual é a razão entre meninas e meninos?
4. Divida R$300 entre três pessoas, em partes proporcionais a 2, 3 e 5.
5. Na construção de uma ponte, são necessárias 5 horas para 3 trabalhadores concluírem uma etapa. Quanto tempo levarão 6 trabalhadores para a mesma etapa (considerando a proporção direta)?

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Gabarito

1. $15:5 \quad \text{ou} \quad 3:1$.
2. $x = 12$.
3. $\frac{12}{8} = 3:2$.
4. R$60, R$90 e R$150.
5. $2,5$ horas.