Tópico 5: Grandezas e Medidas

 

1. O que são Grandezas?

Grandezas são coisas que podem ser medidas, como:

• Comprimento (metros, centímetros).
• Área (metros quadrados, centímetros quadrados).
• Volume (litros, metros cúbicos).

Exemplo prático:

• O comprimento de uma régua: 30 centímetros.
• A área de uma mesa: 2 metros quadrados.
• O volume de uma garrafa: 1 litro.

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2. Unidades de Comprimento

As unidades mais comuns no sistema métrico são:

• Quilômetro (km): usado para medir distâncias longas (como estradas).
• Metro (m): usado para medir objetos grandes (como salas ou prédios).
• Centímetro (cm): usado para medir objetos pequenos (como livros).
• Milímetro (mm): usado para medir detalhes (como a espessura de uma folha).

Tabela de Conversão de Comprimento

Unidade	Equivalência
1 km	1.000 m
1 m	100 cm
1 cm	10 mm

Exemplo de Conversão:

• Transformar 3 km em metros: $$3 \times 1.000 = 3.000 \, \text{m}.$$
• Transformar 250 cm em metros: $$250 \div 100 = 2,5 \, \text{m}.$$

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Parte 2: Cálculo de Áreas e Volumes

1. Área de Figuras Planas

Área é a medida de uma superfície. Usamos fórmulas diferentes para cada figura geométrica.

1. Retângulo:

   $$\text{Área} = \text{base} \times \text{altura}$$

   Exemplo: Um retângulo de base $5 \, \text{m}$ e altura $3 \, \text{m}$:

   $$\text{Área} = 5 \times 3 = 15 \, \text{m}^2.$$

2. Triângulo:

   $$\text{Área} = \frac{\text{base} \times \text{altura}}{2}$$

   Exemplo: Um triângulo com base $6 \, \text{m}$ e altura $4 \, \text{m}$:

   $$\text{Área} = \frac{6 \times 4}{2} = 12 \, \text{m}^2.$$

3. Círculo:

   $$\text{Área} = \pi \times \text{raio}^2$$

   Exemplo: Um círculo com raio $3 \, \text{m}$:

   $$\text{Área} = 3,14 \times 3^2 = 3,14 \times 9 = 28,26 \, \text{m}^2.$$

4. Trapézio:

   $$\text{Área} = \frac{\text{(base maior + base menor)} \times \text{altura}}{2}$$

   Exemplo: Um trapézio com bases $8 \, \text{m}$ e $6 \, \text{m}$, e altura $4 \, \text{m}$:

   $$\text{Área} = \frac{(8 + 6) \times 4}{2} = \frac{14 \times 4}{2} = 28 \, \text{m}^2.$$

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2. Volume de Sólidos

1. Prismas (como caixas):

   $$\text{Volume} = \text{área da base} \times \text{altura}$$

   Exemplo: Uma caixa com base de $6 \, \text{m}^2$ e altura $4 \, \text{m}$:

   $$\text{Volume} = 6 \times 4 = 24 \, \text{m}^3.$$

2. Cilindros:

   $$\text{Volume} = \pi \times \text{raio}^2 \times \text{altura}$$

   Exemplo: Um cilindro com raio $2 \, \text{m}$ e altura $5 \, \text{m}$:

   $$\text{Volume} = 3,14 \times 2^2 \times 5 = 3,14 \times 4 \times 5 = 62,8 \, \text{m}^3.$$

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Parte 3: Escalas e Mapas

1. O que é uma Escala?

Escala é a relação entre o tamanho de um objeto no desenho e o tamanho real.
Exemplo: Em um mapa, a escala $1:100$ significa que 1 cm no mapa equivale a 100 cm (1 m) no mundo real.

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2. Problemas com Escalas

1. Um mapa tem escala $1:200$. A distância entre duas cidades no mapa é $5 \, \text{cm}$. Qual é a distância real?

   $$\text{Distância real} = 5 \times 200 = 1.000 \, \text{cm} = 10 \, \text{m}.$$

2. Uma planta baixa mostra um quarto com $3 \, \text{cm} \times 4 \, \text{cm}$. A escala é $1:50$. Quais as dimensões reais do quarto?

   $$\text{Largura real} = 3 \times 50 = 150 \, \text{cm} = 1,5 \, \text{m}.$$ $$\text{Comprimento real} = 4 \times 50 = 200 \, \text{cm} = 2 \, \text{m}.$$

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Lista de Exercícios

1. Converta as seguintes medidas:

   • $3 \, \text{km}$ para metros.
   • $2.500 \, \text{cm}$ para metros.

2. Calcule as áreas:

   • Um triângulo com base $10 \, \text{m}$ e altura $6 \, \text{m}$.
   • Um trapézio com bases $7 \, \text{m}$ e $5 \, \text{m}$, e altura $4 \, \text{m}$.

3. Calcule os volumes:

   • Um prisma com base $9 \, \text{m}^2$ e altura $3 \, \text{m}$.
   • Um cilindro com raio $3 \, \text{m}$ e altura $5 \, \text{m}$.

4. Um mapa tem escala $1:250$. A distância entre dois pontos no mapa é $8 \, \text{cm}$. Qual é a distância real?

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Gabarito

1. $3 \, \text{km} = 3.000 \, \text{m}; \, 2.500 \, \text{cm} = 25 \, \text{m}.$
2. Áreas: $30 \, \text{m}^2$ e $24 \, \text{m}^2.$
3. Volumes: $27 \, \text{m}^3$ e $141,3 \, \text{m}^3.$
4. Distância real: $2.000 \, \text{cm} = 20 \, \text{m}.$